1. 基本原理
通过一个变换，将输入图像的灰度级转换为`均匀分布`，变换后的灰度级的概率密度函数为
$$P_s(s) = \frac{1}{L-1}$$
直方图均衡的变换为
$$s = T(r) = (L-1)\int_0^r {P_r(c)} \,{\rm d}c $$
$s$为变换后的灰度级，$r$为变换前的灰度级$P_r(r)$为变换前的概率密度函数2. 测试结果
图源自skimage
3.代码
import numpy as np
def hist_equalization(input_image):
'''
直方图均衡（适用于灰度图）
:param input_image: 原图像
:return: 均衡后的图像
'''
output_imgae = np.copy(input_image) # 输出图像，初始化为输入
input_image_cp = np.copy(input_image) # 输入图像的副本
m, n = input_image_cp.shape # 输入图像的尺寸（行、列）
pixels_total_num = m * n # 输入图像的像素点总数
input_image_grayscale_P = [] # 输入图像中各灰度级出现的概率，亦即输入图像直方图
# 求输入图像中各灰度级出现的概率，亦即输入图像直方图
for i in range(256):
input_image_grayscale_P.append(np.sum(input_image_cp == i) / pixels_total_num)
# 求解输出图像
t = 0 # 输入图像的灰度级分布函数F
for i in range(256):
t = t + input_image_grayscale_P[i]
output_imgae[np.where(input_image_cp == i)] = 255 * t
return output_imgae
4. 数学证明目标变换
- $$S = T(r) = (L-1)\int_0^rp_r(w)dw$$
- $T(r)$为严格单调函数，可保证反映射时，消除二义性$p_r(w)$为源图像归一化后的直方图
4.1 假定
- 图像灰度级为：$[0, L-1]$
- 源图像中，$k$灰度级的像素个数：$n_k$
- 源图像像素总数：$n$原图像直方
- 图$h(r_k) = n$4.2 归一化后的直方图
$$p(r_k) = n_k / n$$
$p(r_k)$即为灰度级$r_k$在源图像中出现的概率估计
4.3 证明
概率密度函数的积分为分布函数，即对分布函数的导数为概率密度函数。
因为$p_r(r)$与$T(r)$已知，则由
$$\frac{{\rm d}r}{{\rm d}S} = \frac{p_s(s)}{p_r(r)}$$
又因为
$$S = T(r)$$
即
$$\frac{{\rm d}S}{{\rm d}r} = \frac{T(r)}{r}$$
联立上三式及目标变换
$$S = T(r) = (L-1)\int_0^rp_r(w)dw$$
可得
$$p_s(s) = \frac{1}{L-1}$$
故，这意味着变换之后的图像的灰度级为均匀分布，证毕。
总结
以上所述是小编给大家介绍的Python实现直方图均衡基本原理解析,希望对大家有所帮助，如果大家有任何疑问请给我留言，小编会及时回复大家的。在此也非常感谢大家对网站的支持！
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